O pai de Wac322aw Sierpi324ski Wac322aw Sierpi324ski era um médico. Ele frequentou a escola em Varsóvia, onde seu talento para a matemática foi rapidamente detectado por seu primeiro professor de matemática. Este foi um período de ocupação russa da Polônia e foi um momento difícil para o talentoso Sierpi324ski ser educado na Polônia. Os russos haviam forçado sua língua e cultura nos poloneses em mudanças radicais para todas as escolas secundárias implementadas entre 1869 e 1874. O objetivo russo era manter o analfabetismo na Polônia o mais alto possível, então eles desencorajavam o aprendizado e o número de alunos caiu. Apesar das dificuldades, Sierpi324ski entrou no Departamento de Matemática e Física da Universidade de Varsóvia em 1899. Seria mais preciso descrevê-lo como a Universidade dos Czes desde que este era o nome oficial da Universidade que se tornou uma universidade russa em 1869. As palestras na Universidade eram todas em russo e os funcionários eram inteiramente russos. Não é surpreendente, portanto, que seja o trabalho de um matemático russo, um de seus professores Voronoy. Que primeiro atraiu Sierpi324ski. Em 1903, o Departamento de Matemática e Física ofereceu um prêmio para o melhor ensaio de um aluno sobre a contribuição de Voronoy à teoria dos números. Sierpi324ski foi premiado com a medalha de ouro na competição por sua dissertação. Ele descreveu os eventos (veja, A Rotkiewicz, W Sierpinski8217s trabalha na teoria dos números, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 21 (1972), 5-24., 12): -. Recebi uma medalha de ouro pela universidade para trabalhar em uma competição sobre a teoria dos números. Foi o meu primeiro trabalho científico. Foi aceito para publicação na Izvestia da Universidade de Varsóvia. No entanto, no ano seguinte houve uma greve para produzir um boicote às Escolas Russas na Polônia e não queria que meu primeiro trabalho fosse impresso na língua russa e é por isso que eu a tirei da impressão em Izvestia de Varsóvia. É por isso que não foi impresso até 1907 na revista matemática The works of Mathematics and Physics, publicada por Samuel Dickstein. Cinquenta anos depois de se formar na Universidade de Varsóvia, Sierpi324ski olhou para trás os problemas que ele teve como um pólo com seu diploma no momento da ocupação russa: -. Tivemos que participar de uma palestra anual sobre a língua russa. Cada um dos alunos tornou um ponto de honra ter os piores resultados nesse assunto. Não respondi uma única pergunta. E eu obtive uma marca insatisfatória. Eu passei todos os meus exames, então o leitor sugeriu que eu deveria fazer um exame repetido, caso contrário, eu não seria capaz de obter o grau de candidato para a ciência matemática. Eu recusei ele dizendo que este seria o primeiro caso em nossa Universidade de que alguém com excelentes notas em todos os assuntos, tendo a dissertação aceita e uma medalha de ouro, não obtivesse o grau de candidato a ciência matemática, mas menor Grau de estudante real (estranhamente foi o que o menor grau era chamado) por causa de uma marca mais baixa na língua russa. Sierpi324ski teve sorte para o leitor ter mudado a marca em seu curso de língua russa para que ele pudesse fazer seu diploma. Como ele diz: - O policial era humano. Os resultados no ensaio do prêmio que Sierpi324ski escreveu em 1904 foram uma contribuição importante para um problema famoso em pontos de rede. Suponha que R (r) denota o número de pontos (m. N), m. N 8712 Z contido em um círculo de centro O. Raio r. Existe uma constante C e um número k com Let d o valor mínimo de k. Gauss provou em 1837 que d 8804 1. Sierpi324skis contribuição principal foi mostrar que era possível melhorar a desigualdade para d 8804 2 3. Em 1913, Edmund Landau reduziu a prova de Sierpi324skis e descreveu o resultado como profundo. Vamos nos separar por um momento para discutir um trabalho adicional que decorreu deste resultado de Sierpi324ski sobre o que é freqüentemente chamado de problema de círculo de Gauss. Em 1915 Hardy e Landau provaram que d gt 1 2. Enquanto em 1923 van der Corput provou que d lt 2 3. No ano seguinte, Littlewood e Walfisz provaram que d 8804 37 56. Sendo melhorado para d 8804 163 247 no ano seguinte. Pequenas melhorias foram feitas por Vinogradov em 1932 e Titchmarsh em 1934. O melhor resultado que a I EFR conhece é 8804 7 11. Sierpi324ski se formou em 1904 e trabalhou por um tempo como professor de matemática e física em uma escola de meninas em Varsóvia. No entanto, quando a escola fechou por causa de uma greve, Sierpi324ski decidiu ir a Krakoacutew para estudar seu doutorado. Na Universidade Jagiellonian em Krakoacutew, ele participou de palestras de Zaremba em matemática, estudando além disso astronomia e filosofia. Ele recebeu seu doutorado e foi nomeado para a Universidade de Lvov em 1908. Na verdade, foi em 1907 que Sierpi324ski se interessou pela teoria dos setores. Aconteceu quando ele encontrou um teorema que afirmou que os pontos no avião poderiam ser especificados com uma única coordenada. Ele escreveu para Banachiewicz. Que estava na Goumlttingen na época, perguntando-lhe como tal resultado era possível. Ele recebeu uma resposta de uma palavra Cantor. Sierpi324ski começou a estudar a teoria dos setores e, em 1909, deu o primeiro curso de leitura dedicado inteiramente à teoria dos setores. Ao longo de sua vida, Sierpi324ski manteve uma produção incrível de documentos de pesquisa e livros. Nos anos de 1908 a 1914, quando ensinou na Universidade de Lvov, publicou três livros, além de muitos trabalhos de pesquisa. Estes livros foram The theory of irrational numbers (1910), Outline of Set Theory (1912) e The theory of numbers (1912). Quando a Primeira Guerra Mundial começou em 1914, Sierpi324ski e sua família estavam na Rússia. Neste momento, os governos da Áustria e da Rússia tentaram usar a questão polonesa como arma política. Sierpi324ski foi internado em Viatka. No entanto, Egorov e Luzin ouviram que ele havia sido internado e providenciado para que ele pudesse ir para Moscou. Sierpi324ski passou o resto dos anos de guerra em Moscou trabalhando com Luzin. Juntos, começaram o estudo de conjuntos analíticos. Em 1916, durante o seu tempo em Moscou, Sierpi324ski deu o primeiro exemplo de um número absolutamente normal, que é um número cujos dígitos ocorrem com igual frequência em qualquer base que esteja escrito. Borel provou que tais números existem, mas Sierpi324ski foi o primeiro a dar um exemplo. Quando a Primeira Guerra Mundial terminou em 1918, Sierpi324ski voltou para Lvov. No entanto, pouco depois de assumir a sua nomeação novamente em Lvov, ele recebeu uma postagem na Universidade de Varsóvia, que ele aceitou. Em 1919, ele foi promovido para professor em Varsóvia e ele passou o resto da vida lá. Em 1920, Sierpi324ski, juntamente com o antigo estudante Mazurkiewicz. Fundou a importante revista de matemática Fundamenta Mathematicae. Sierpi324ski editou a revista especializada em artigos sobre teoria de conjuntos. A partir deste período, Sierpi324ski trabalhou principalmente na área de teoria de conjuntos, mas também em topologia de setas de pontos e funções de uma variável real. Na teoria dos conjuntos, ele fez importantes contribuições para o axioma de escolha e para a hipótese do continuum. Ele estudou a curva Sierpi324ski que descreve um caminho fechado que contém todos os pontos interiores de um quadrado. O comprimento da curva é infinito, enquanto a área anexada é 5 12 a do quadrado. Sierpi324ski continuou a colaborar com Luzin em pesquisas de conjuntos analíticos e projetivos. Seu trabalho em funções de uma variável real inclui resultados em séries funcionais, diferenciação de funções e classificação de Baire. Sierpi324ski também foi altamente envolvido com o desenvolvimento da matemática na Polônia. Ele foi homenageado com as eleições para a Academia polonesa em 1921 e foi eleito eleito na faculdade da Universidade de Varsóvia no mesmo ano. Em 1928, tornou-se vice-presidente da Sociedade Científica de Varsóvia e, no mesmo ano, foi eleito presidente da Sociedade Matemática Polonesa. Em 1939, a vida em Varsóvia mudou dramaticamente com o advento da Segunda Guerra Mundial. Sierpi324ski continuou trabalhando na Universidade Subterrânea de Varsóvia, enquanto seu trabalho oficial era funcionário nos escritórios do conselho em Varsóvia. Suas publicações continuaram desde que ele conseguiu enviar papéis para a Itália. Cada um desses artigos terminou com as palavras: - As provas desses teoremas aparecerão na publicação da Fundamenta Mathematicae, que todos entenderam que a Polônia irá sobreviver. Após o levante de 1944, os nazistas queimaram sua casa destruindo sua biblioteca e cartas pessoais. Sierpi324ski falou dos trágicos acontecimentos da guerra durante uma palestra que ele deu na Universidade Jagiellonian em Krakoacutew em 1945 (ver, A Schinzel, Waclaw Sierpinski8217s papers sobre a teoria dos números, Acta Arithmetica 21 (1972), 7-13., 13 ). Ele falou de seus alunos que morreram na guerra: - Em julho de 1941, um dos meus estudantes mais velhos Stanis322aw Ruziewicz foi assassinado. Ele era um professor aposentado da Universidade Jan Kazimierz em Lvov. Um excelente matemático e um excelente professor. Em 1943, um dos meus estudantes mais distinguidos Stanis322aw Saks foi assassinado. Foi professor adjunto da Universidade de Varsóvia, um dos principais especialistas do mundo na teoria da integral. Em 1942, outro estudante meu, Adolf Lindenbaum foi assassinado. Ele foi professor assistente na Universidade de Varsóvia e um ilustre autor de obras sobre teoria de conjuntos. Depois de listar colegas que foram assassinados na guerra, como Schauder e outros que morreram como resultado da guerra, como Dickstein e Zaremba. Sierpi324ski continuou: - Assim, mais de metade dos matemáticos que ensinaram a leitura em nossas escolas acadêmicas foram mortos. Foi uma grande perda para a matemática polaca, que se desenvolveu favoravelmente em alguns campos, como a teoria dos setores e a topologia. Além das perdas pessoais lamentadas, a matemática polaca sofreu por causa da barbárie alemã durante a guerra, também sofreu perdas materiais. Eles queimaram a Biblioteca da Universidade de Varsóvia, que continha vários milhares de volumes, revistas, livros matemáticos e milhares de reimpressões de trabalhos matemáticos por diferentes autores. Quase todas as edições de Fundamenta Mathematicae (32 volumes) e dez volumes de Monografia Matemática foram completamente queimadas. Bibliotecas privadas de todos os quatro professores de matemática da Universidade de Varsóvia e também uma série de manuscritos de suas obras e manuais escritos durante a guerra também foram queimados. Sierpi324ski foi o autor do incrível número de 724 artigos e 50 livros. Ele se aposentou em 1960 como professor na Universidade de Varsóvia, mas continuou a dar um seminário sobre a teoria dos números na Academia Polaca de Ciências até 1967. Ele também continuou seu trabalho editorial, como editor-chefe da Acta Arithmetica, que Ele começou em 1958 e como um conselho editorial do Rendiconti del Circolo Matematico de Palermo, Compositio Mathematica e Zentralblatt fuumlr Mathematik. Ele recebeu tantas honras que seria impossível mencionar todos eles aqui. Nós enumeramos alguns. Foi concedido graus de honra das universidades Lvov (1929), St Marks of Lima (1930), Amsterdam (1931), Tarta (1931), Sofia (1939), Praga (1947), Wroc322aw (1947), Lucknow (1949) , E Universidade de Lomonosov de Moscou (1967). Foi eleito para a Sociedade Geográfica de Lima (1931), a Sociedade Real Científica de Liegravege (1934), a Academia Búlgara das Ciências (1936), a Academia Nacional de Lima (1939), a Sociedade Real de Ciências de Nápoles (1939). ), A Academia de Lincei de Roma (1947), a Academia Alemã de Ciências (1950), a Academia Americana de Artes e Ciências (1959), a Academia de Paris (1960), a Academia Real Holandesa (1961), a Academia de Ciência de Bruxelas (1961), London Mathematical Society (1964), Academia Romena (1965) e Academia Papal das Ciências (1967). Rotkiewicz, que era estudante de Sierpi324skis escreveu em A Rotkiewicz, W Sierpinski8217s trabalha na teoria dos números, Rend. Circ. Esteira. Palermo (2) 21 (1972), 5-24., 12: - Sierpi324ski teve uma saúde excepcionalmente boa e uma natureza alegre. Ele poderia trabalhar sob quaisquer condições. Ele não gostou de nenhuma correção em seus papéis. Quando alguém sugeriu uma correção, ele acrescentou uma linha: o Sr. X observou isso. Ele era uma mente criativa e gostava de matemática criativa. Ele era o maior e mais produtivo matemático polonês. Artigo: JJ OConnor e EF Robertson Clique neste link para ver uma lista das entradas do Glossário para esta página Lista de referências (18 livros) Lodes Tutorial de computação gráfica Sierpinski Fractals Índice Introdução Há muitos fractores com o nome de Waclaw Sierpinski, um matemático polonês que viveu de 1882 a 1969. Estes incluem o Triângulo Sierpinski, o Tapete Sierpinski, a Pirâmide Sierpinski (a versão 3D do Triângulo Sierpinski) eo Cubo Sierpinski (a versão 3D do Tapete Sierpinski). As figuras 2D serão descritas aqui. Triângulo Sierpinski O Triângulo Sierpinski, também chamado de Sierpinski Gasket e Sierpinski Sieve, pode ser desenhado manualmente da seguinte forma: Comece com um único triângulo. Este é o único triângulo nessa direção, todos os outros estarão de cabeça para baixo: dentro deste triângulo, desenhe um triângulo de baixo para baixo. Seus cantos devem estar exatamente nos centros dos lados do grande triângulo: agora, desenhe 3 triângulos menores em cada um dos 3 triângulos que estão apontando para cima, novamente com os cantos nos centros dos lados dos triângulos que apontam para cima: Agora, existem 9 triângulos apontando para cima. Em cada um desses 9, desenhe novamente triângulos mais baixos: os 27 triângulos apontando para cima, desenham novamente 27 triângulos apontando para baixo: depois de passos infinitos, e se todos os triângulos apontando para cima forem preenchidos, você terá o peneiro Sierpinski. Cada passo, mais triângulos devem ser desenhados. Este é um processo recursivo, e pode ser desenhado da mesma maneira com um computador. Com Recursão Bem, agora, programa que o que foi desenhado manualmente no computador, ao fazer uma função de desenho de triângulo, ela se recomeça novamente 3 vezes, até que n etapas de recursões sejam alcançadas. Este programa é feito para que ele funcione para qualquer triângulo inicial, ele não precisa ser simétrico, a única condição é que os cantos estejam dentro da tela. A função principal configura a tela e chama a função drawSierpinski. A função drawSierpinski em si desenha apenas um triângulo: o inicial que aponta para cima. Então, ele chamará a função subTriangle, e essa é a função recursiva real, que irá desenhar todos os triângulos invertidos. A função subTriangle desenha um único triângulo de cabeça para baixo, com os 3 cantos que você dá com seus parâmetros. Então, ele se chama 3 vezes novamente, para desenhar 3 triângulos menores. Para estes 3 triângulos, são usados novos cantos, é claro, e estes devem ser calculados. Na seguinte imagem, se o triângulo preto é o grande triângulo, a função subTriângulo desenhou, então os três triângulos vermelhos são os novos que precisam ser calculados: os cantos do grande triângulo são a1, a2 e a3. Os cantos de um dos triângulos mais pequenos são b1, b2 e b3 como você pode ver na imagem. Se vemos todos esses pontos como vetores, as fórmulas para os pontos b (com os pontos a sendo conhecidos) são: b3 (a1 a2) 2, porque b3 está no centro entre a1 e a2, esse ponto é a média de A1 e a2 b1 b3 (a1 - a3) 2: se você examinar bem, você verá que o ponto b1 é a soma do ponto b3 e do vetor (a1 - a3) 2, dividido em 2 porque o lado correspondente do O triângulo menor é metade tão grande. B2 b3 (a2 - a3) 2: isso é muito semelhante à outra fórmula, mas com o outro lado. Para os outros 2 pequenos triângulos, algo parecido é feito. No código, não usamos uma classe de vetores, então x e y são variáveis separadas e, por causa da adição de vetores funcionam, simplesmente temos que fazer o mesmo duas vezes, uma vez para x e uma vez para y, com o mesmo Fórmulas. Para as coordenadas dos cantos triangulares, os números de ponto flutuante são usados para mais precisão. Com esse conhecimento, o programa pode ser feito, os comentários no código abaixo explicam como isso funciona: Heres o que você vê depois de executar o programa: Com AND O método dado acima é apenas uma das muitas maneiras de desenhar os Triângulos Sierpinski. Uma dessas maneiras é com o operador AND. Se você tomar um pixel a coordenada x como um número inteiro, e a coordenada y como um número inteiro, e use o operador AND neles, se o resultado for 0, desenhe um pixel de uma cor, caso contrário, outro. Você verá então um Triângulo Sierpinski exibir o operador AND em dois inteiros, leva ambos os números inteiros como um número binário e usa AND em cada um dos bits correspondentes. O operador AND em bits funciona da seguinte forma: Isto é feito para cada bit do inteiro, e somente se o número inteiro resultante for no 0000000000000000 binário, o pixel recebe outra cor. O código é um loop duplo muito simples que passa por cada pixel e verifica se o amplificador x é 0 ou não, onde o amplificador é o operador AND binário em C. Ao usar o amplificador x dentro de uma condição if, ele só será falso no Case x amp y é 0, e em todos os outros casos, um pixel branco é desenhado, então o resultado será um triângulo sierpinski preto sobre um fundo branco. O resultado parece melhor se os tamanhos de tela forem de 2, caso contrário, você verá apenas uma parte do triângulo. Com uma Função Aleatória Outra maneira totalmente diferente de desenhar uma aproximação do Triângulo Sierpinski funciona da seguinte forma: 1) defina 3 pontos com coordenadas: a (ax, ay), b (bx, by) e c (cx, cy). Estes se tornarão os cantos do grande triângulo exterior. 2) definir outro ponto, p (px, py) e colocá-lo em um canto do triângulo (por exemplo px ax e py ay). 3) desenhe um ponto no local (px, py) com um lápis 4) roote uma matriz teórica com 3 lados (lado 0, lado 1 e lado 2), ou apenas faça uma escolha aleatória entre 0, 1 e 2. 5) Agora altere as coordenadas do ponto p, dependendo do número de roteamento: se você rolar 0, p (pa) 2, se você rolou 1, p (pb) 2 se você rolar 2, p (pc) 2 6) volte para Passo 2, coloque o ponto na nova posição de p e continue fazendo isso até ficar cansado. No entanto, todo o processo é randomizado, depois de passos suficientes, o resultado ficará cada vez mais parecido com um Triângulo Sierpinski. Isso não é muito difícil Código, os comentários explicam como tudo funciona: quanto maior for o valor numSteps, mais pixels serão desenhados. Essas imagens mostram o resultado para 1000, 10000 e 100000 etapas: Ao jogar um pouco com as fórmulas, você pode obter outras formas, como por exemplo esta: conseguiu mudar algumas das divisões através de 2.0 em divisões até 3.0. Com Recorrência Retangular Mais uma maneira de desenhar um Triângulo Sierpinski é com uma função recursiva que usa retângulos. O processo de recursão funciona da seguinte maneira: Mude cada retângulo em uma forma de L: A própria forma de L consiste em 3 retângulos, que são novamente convertidos em forma de L, etc. Se você continuar fazendo isso o tempo suficiente, parece mais E mais como um Triângulo Sierpinski. Isso é novamente algo que pode ser programado com uma função recursiva, bastante semelhante ao código recursivo dado maior, mas esses retângulos de tempos são desenhados e novas coordenadas para 3 novos retângulos devem ser calculadas de cada vez. Heres o resultado para 3, 5 e 8 recursões: Para estudar o recursão um pouco melhor, tente ver o que acontece quando a função drawSierpinski se chama apenas 1 vez em vez de 3 (as outras 2 chamadas são comentadas): agora, se maxRecursões É 8, apenas 8 retângulos são desenhados, cada um menor do que o anterior: agora, habilitamos duas chamadas para si mesmas, e já estão sendo desenhados mais quadrados, mas a forma ainda não é complexa. Agora à direita está 1 quadrado grande, à esquerda disto 2 meias praças, à esquerda desses 4 quadrados 14, à esquerda daqueles 8 18 quadrados, e assim por diante, com a linha mais à esquerda 128 quadrados que são 128 vezes menores do que o grande quadrado a direita. E, finalmente, se ativarmos todas as 3 chamadas para si, obtemos o Triângulo Sierpinski, e tantos quadrados são desenhados que quase tudo é branco: há ainda outra maneira de obter um Triângulo Sierpinski: com um autômato celular, mas isso pode ser coberto Em um artigo posterior. Sierpinski Carpet With Rectangle Recursion Um fractal diferente é o Sierpinski Carpet. Para desenhar um à mão, comece com um quadrado branco e, em seguida, desenhe um quadrado preto no centro com cada lado 13 do tamanho do quadrado original: agora, ao redor do quadrado preto, são 8 quadrados brancos. Em cada um destes 8, desenhe novamente um quadrado preto que é o 18 mais pequeno e, nos 8864 novos quadrados brancos, faça-o novamente: continue fazendo isso até o infinito, e você obtém um tapete sierpinski. Para desenhá-lo, podemos usar um recursivo Função que é muito semelhante à usada para o triângulo sierpinski com retângulos, mas agora a função precisa se chamar 8 vezes em vez de apenas 3 e usar coordenadas diferentes. As coordenadas x1, y1-x2, y2 são divididas em 9 seções, no centro, o retângulo é desenhado com rect e os outros 8 são usados como parâmetros para as chamadas DrawCarpet do próximo passo de recursão. E heres o resultado para 6 passos de recursão: se você quiser um maior, use uma resolução de 729729 pixels e 7 recursões. Com Ternary Numbers Theres também um método para desenhar o Sierpinski Carpet que é semelhante ao método AND para desenhar o triângulo sierpinski. Ou seja, você faz um cálculo para cada pixel para verificar se ele deve ou não ser colorido. Este método é um pouco mais complexo, porém, porque você precisa trabalhar na base 3, ou seja, com números ternários. Os números Ternários têm dígitos que podem ser 0, 1 ou 2. O método funciona da seguinte maneira: Pegue as coordenadas do pixel como números inteiros escritos na notação ternária. Para cada dígito, verifique se NÃO, ambos os dígitos correspondentes são 1. Se isso nunca acontecer, o ponto pertence ao tapete. Para encontrar o primeiro dígito ternário (mais à direita) de um número, o módulo dividi-lo por 3 (a divisão de módulo a 3 funciona da seguinte forma: 030, 131, 232, 330, 431, 532, 630, 731, etc.). Para encontrar o segundo dígito ternário, primeiro divida o número através de 3 (divisão inteira, ou seja, retire os números por trás do ponto) e, em seguida, modulo dividi-lo até 3. Para encontrar o terceiro dígito ternário, divida-o através de 9, então o módulo divide através 3. Para encontrar o quarto, divida-se até 27, então o módulo divide através de 3, etc. O exemplo abaixo usa uma resolução de 243 por 243 pixels, portanto, temos que verificar apenas os primeiros 5 dígitos ternários das coordenadas de pixels, pois com 5 Dígitos ternais, você pode representar todos os números de 0 a 242. A condição no if, é escrita em muitas linhas, ea condição verifica para cada um dos 5 dígitos, se NÃO, tanto a partir da coordenada x quanto a da y As coordenadas estão juntas 1. Se a condição for verdadeira, um pixel branco é desenhado em x, y. O resultado é exatamente o mesmo do programa anterior, mesmo que este use um método totalmente diferente: se você quiser aumentar a resolução, você deve adicionar uma condição extra para o 6º dígito (onde você divide 243), etc. . Para cada vez que você triplica a resolução. A condição que verifica o 5º dígito (o 5º dígito ternário da direita) é aquele que é responsável pelo grande quadrado preto no centro. A condição que verifica o 4º dígito é a responsável pelos 8 quadrados menores ao redor do quadrado central, etc. Se você remover a condição para o 5º dígito, o quadrado preto do centro desapareceu e, em vez disso, você obtém isso: se você Remova, em vez disso, por exemplo, a condição que verifica o 3º dígito, todos os quadrados pretos da terceira ordem desapareceram enquanto todos os outros são deixados: então, se você triplicar a resolução, o quadrado que é agora o quadrado central se tornará um quadrado no Na parte superior esquerda, e você precisa de um quadrado preto ainda maior no novo centro, e é por isso que você precisa de uma nova condição que verifique o 6º dígito então. Última edição: 2004 Copyright (c) 2004-2007 por Lode Vandevenne. Todos os direitos reservados.
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